Le synchrotron

Un synchrotron est un accélérateur de particules circulaire dans lequel des particules chargées (des protons, des électrons ou des ions) tournent en boucle dans un anneau grâce à des champs magnétiques et électriques qui les accélèrent progressivement jusqu'à des vitesses élevées, proches de celle de la lumière.

Il s'agit d'un outil de pointe qui génère un rayonnement X ultra-intense, permettant, par l'exploration de la matière à l'échelle atomique et subatomique, des avancées majeures en physique des particules, médecine, pharmacologie, analyse des matériaux, archéologie…

Partie A : de l'accélérateur de particules au cercle trigonométrique

Le cercle ci-dessous représente un synchrotron de rayon \(100\) m. 
Au niveau des quatre points `\text{I}`, `\text{J}`, \(\text{I}'\) et `\text{J}^\prime` de l'anneau se trouvent des cavités radiofréquence qui donnent de l'énergie aux particules à chaque passage. 

On s'intéresse à une particule qu'on injecte dans le synchrotron au point `\text{I}` et qui se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1. Quelle est la circonférence de l'anneau du synchrotron ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à `10^{-2}` près.
2. Quelle est la longueur de l'arc \(\stackrel \frown{\text{IJ}}\) ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à `10^{-2}` près.
3. Après avoir parcouru `10` km, dans quel quart de cercle la particule se trouve-t-elle ?
4. a. Donner la valeur exacte de la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{I}` sachant qu'elle a effectué `5` tours complets dans l'anneau.
    b. On note `k` le nombre de tours complets effectués par la particule. Exprimer en fonction de `k` la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{I}`.
5. a. Calculer la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{J}` sachant qu'elle a effectué `10` tours complets dans l'anneau.
    b. On note `k` le nombre de tours complets effectués par la particule. Exprimer en fonction de `k` la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{J}`.

Partie B : repérer la position des particules dans le synchrotron (1)

Le cercle ci-dessous représente un synchrotron de rayon \(100\) m. 

Pour repérer la position `\text{P}` de la particule dans l'anneau du synchrotron, une première possibilité est de s'intéresser à l'angle \(\widehat{\text {IOP}}\). Cet angle intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{\text{IP}}\).

\(\)1. a. La particule se trouve au point \(\text{I}^\prime\). Quelle est la longueur de l'arc de cercle intercepté par l'angle \(\widehat{\text{IOI}^\prime}\) ? 
    b. Même question lorsque la particule se trouve au point \(\text{J}\) puis au point \(\text{J}^\prime\).
2. Quelle est la longueur de l'arc intercepté lorsque la particule se trouve au point \(\text{P}\) du cercle avec  \(\widehat{\text {IOP}}=45^\circ\)?
3. Compléter le tableau suivant.
\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline\text{Mesure de l'angle } \widehat{\text{IOP}} \text{ en degrés} & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 135 & 180 & 360 \\ \hline\text{Longueur de l'arc } \overset{\frown}{\mathrm{IP}} \text{ intercepté en mètres} & & & & & & & & \\ \hline\end{array}\)

Partie C : repérer la position des particules dans le synchrotron (2)

Une autre possibilité pour repérer la position \(\text{P}\) de la particule dans l'anneau du synchrotron est d'utiliser ses coordonnées cartésiennes \((x_\text{P}\,;y_\text{P})\) dans le repère \(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\).

1. À l'aide du fichier de géométrie dynamique ci-dessous, compléter le tableau suivant. Donner les valeurs arrondies à \(10^{-2}\) près. 
\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline\text{Mesure de l'angle } \widehat{\text{IOP}} \text{ en degrés} & 0 &30 & 45 &60 & 90\\ \hline \text{Abscisse } x_\text{P} & & & & & \\ \hline \text{Ordonnée } y_\text{P} & & & & & \\ \hline\end{array}\)

2. Pour certaines positions du point \(\text{P}\), on peut déterminer géométriquement les valeurs exactes des coordonnées du point \(\text{P}\). 
Considérons le cas où \(\widehat{\text{IOP}}=45\)°.
On notera \(\text{H}\) le projeté orthogonal du point \(\text{P}\) sur l'axe des abscisses.

    a. Quelle est la nature du triangle \(\text{OHP}\) ?
    b. Déterminer les longueurs des côtés du triangle \(\text{OHP}\).
    c. En déduire les coordonnées exactes du point \(\text{P}\).

3. Dans le cas où \(\widehat{\text{IOP}}\) est compris entre \(0\) et \(90\)°, exprimer \(\cos(\widehat{\text{IOP}})\) et \(\sin(\widehat{\text{IOP}})\) en fonction des coordonnées du point \(\text{P}\). On se placera dans le triangle \(\text{OHP}\) où \(\text{H}\) est le projeté orthogonal du point \(\text{P}\) sur l'axe des abscisses.

Partie D : le champ électrique d'un synchrotron

Dans le synchrotron, au niveau de chaque cavité radiofréquence, un champ électrique oscillant est généré pour accélérer les particules à chaque passage. 
On donne ci-dessous l'allure de la courbe de ce champ électrique dans le cas de l'ESRF (European Synchrotron Radiation Facility, https://www.esrf.fr/). 

Décrire cette figure en précisant des caractéristiques de la courbe représentant ce champ électrique.